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初中生世界·九年级

初中生世界·九年级

2025年06期

《初中生世界》是由江苏教育报刊社主办的面向全国初中学生的省级综合性杂志。

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艺术视角 | 升清质之悠悠，降澄辉之蔼蔼

艺术视角 | 升清质之悠悠，降澄辉之蔼蔼

“海上生明月，天涯共此时”，我们头顶的那轮明月的清辉已照耀中华大地千百年。从甲骨文里弯弯的月牙符号，到如今春晚舞台上脍炙人口的《玉盘》合唱，中国人始终在用诗意与智慧破译着月亮的密码，叙说着月光的故事。你看汉字“月”的造型多奇妙——几千年前的先民仰望夜空，用最简练的线条勾勒出漂亮的新月轮廓。这个会变形的文字魔术师，时而化作《诗经》里“月出皎兮”的银盘，时而变成李白笔下“呼作白玉盘”的明镜，始
“图形的性质”专题复习 | 深谙几何特征，方知图形性质

“图形的性质”专题复习 | 深谙几何特征，方知图形性质

“图形的性质”属于初中阶段的“图形与几何”领域，是指几何图形所具有的各种属性和特征。这里的图形包括立体图形和平面图形。在初中阶段，我们重点学习平面图形，以点、线、面为基本要素，通过实验探究、推理论证获得对平面图形的基本认识。立足整体，理解图形性质在小学阶段，我们主要经历了从实际物体到几何图形的抽象过程，基于图形的特征，感悟点、线、面、体的关系，侧重于对图形认识、图形性质以及图形变化的感知。
“图形的性质”专题复习 | 掌握图形性质构建知识体系

“图形的性质”专题复习 | 掌握图形性质构建知识体系

“图形与几何”构成了初中数学学习的关键板块，也是历年中考命题的重点所在。其中，“图形的性质”作为该内容的核心，其命题聚焦于两个方面：对图形性质的探究与应用。下面，我们以具体实例剖析如何解决涉及图形性质的相关问题。
“图形的性质”专题复习 | 理解图形性质厘清推理依据

“图形的性质”专题复习 | 理解图形性质厘清推理依据

图形的性质是图形所具有的属性和特征。与图形有关的这类试题不仅需要大家对性质有深刻的理解，更要能灵活应用，同时也考查大家的逻辑推理能力和几何语言的规范性表达。有的同学明明会做，但是往往因为没有规范答题、完整解答而失分。以下是此部分知识点的相关案例，供各位同学复习参考。
“图形的性质”专题复习 | 理解本质明晰错因

“图形的性质”专题复习 | 理解本质明晰错因

三角形作为重要的基本图形，往往会融合其他几何图形进行综合考查。因此，我们除了要熟练掌握三角形边角关系、基本性质外，还要加强对图形本质的理解，避免在解答中出现错误。下面列举部分典型错误，希望同学们能引以为戒。
“图形的性质”专题复习 | 深挖教材习题，把握中考考点

“图形的性质”专题复习 | 深挖教材习题，把握中考考点

对于教材上的习题，我们往往只停留在会解的阶段，而忽略对其拓展延伸。殊不知深挖教材习题，可以融通基础知识，提升思维能力和创新意识，而且很多中考题都源于教材习题的拓展。下面以苏科版数学教材八年级下册第92 页习题11为例，并结合2024年江苏省盐城市中考第25 题（部分）及其变式，谈谈习题的拓展与延伸。【原题呈现】如图 1，E，F，G，H 分别是▱ABCD 各边的中点，证明图中阴影部分是平行四边形
“图形的性质”专题复习 | 四边形的中考之旅

“图形的性质”专题复习 | 四边形的中考之旅

在各地历年中考中，四边形相关的考题屡见不鲜。现选取2024 年各地中考卷中的几例典型试题加以分析，供同学们参考和探索。
“图形的性质”专题复习 | 数学眼光看世界发挥想象找关系

“图形的性质”专题复习 | 数学眼光看世界发挥想象找关系

初中数学的图形问题总是充满了奇妙之处。比如，看塑像时在哪个位置视角最大？看似简单的正方形纸片，如何裁剪才能拼成独特的钻石型五边形？这些有趣现象的背后，又蕴藏着什么样的图形性质。下面让我们共同探索，感受数学的魅力和实用。现实抽象型例1 （2024·河南）如图1，塑像AB在底座BC 上，点 D 是人眼所在的位置。当点 B 高于人的水平视线 DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，
“图形的变化”专题复习 | 整体中思考变化中做题

“图形的变化”专题复习 | 整体中思考变化中做题

“图形的变化”包括轴对称、旋转、平移三类图形运动，还有相似与投影，主要研究图形的定义、性质（判定）与应用，图形之间的位置、数量关系。函数是刻画变化的有效数学模型，故图形的变化注定与函数有着不可分割的关联。下面，我们以两道例题为载体，从“小范围”到“大领域”领略图形变化的内部以及与其他知识的关联，感受数学知识的整体性。三类图形运动之间的关系轴对称、旋转和平移是三类基本的图形运动，它们只改变图
“图形的变化”专题复习 | 辩证思考“动”与“静”，感受“图形变化”

“图形的变化”专题复习 | 辩证思考“动”与“静”，感受“图形变化”

“图形的变化”虽然是“图形与几何”领域的三个主题之一，但也常常运用“数与代数”中方程、函数等模型表示边、角之间的数量关系。图形因“动”而“变”，面对图形的运动，我们该如何应对呢？看“静”想“动”，增加思维宽度例1 如图1，在正方形ABCD 中， P 是边 CD 上的任意一点，连接 BP ，作 PE⊥BD 于点 E ，连接 AE ，请说明 AE 与 BP 之间的数量关系。图1 【解
“图形的变化”专题复习 | 心中明确关键步精准踩中得分点

“图形的变化”专题复习 | 心中明确关键步精准踩中得分点

图形变化类题目因其综合性强，灵活性大，往往有多种解题思路，所以我们需要写出关键步骤，踩点解答。下面以2024 年辽宁省中考数学第22 题为例（满分13 分），归纳考查点，展示踩分点，供同学们复习时参考。
“图形的变化”专题复习 | 以动制静，方能化难为易

“图形的变化”专题复习 | 以动制静，方能化难为易

图形的运动千变万化，是中考的重点考查对象。但细细研读，我们能发现，它们的题根就在教材中。现从教材中的一道习题开始展开谈谈。例（苏科版数学教材八年级下册第94 页第16 题）如图1，点 C 在线段 AB 上，分别以 AC，BC 为边在线段 AB 同侧作正方形 ACDE 和 BCFG，连接 AF，BDAF 与 BD 是否相等？（解答略）延展问题1：△ACF经过怎样的图形运动得到△DCB？
“图形的变化”专题复习 | “图”个明白，成功绕“坑”

“图形的变化”专题复习 | “图”个明白，成功绕“坑”

在本专题复习中，我们要理解平移、轴对称、旋转、位似和投影这五类基本的图形运动，明晰其基本性质，在变化中探寻不变的量，在动态中找寻基本的点、线位置及它们之间的关系。下面，我们主要从平移、轴对称、旋转、位似这四个方面结合例题进行剖析，希望对大家有所帮助。图形的平移例1 如图 1，A，B 两村庄在一条两岸 l1∖l2 平行，宽为 d 的小河两侧，现打算在河面上方架一座与河面垂直的桥，使A 村到
“图形的变化”专题复习 | 动静结合应对图形之“变”

“图形的变化”专题复习 | 动静结合应对图形之“变”

图形变换类问题，强调从运动变化的角度研究图形，这类题往往需要在“变化”与“确定”中分析问题，具有一定难度。本文以2024 年江苏省无锡市中考数学第27 题为例，谈谈此类问题的分析方法，供同学们参考。
“图形的变化”专题复习 | 破解图形变化迷局

“图形的变化”专题复习 | 破解图形变化迷局

我发现身边的一些小伙伴谈“变”则“色变”，如何破解图形变化的迷局？下面以一道题为例说说我的想法。
“图形的变化”专题复习 | 在变化中探索几何的韵味

“图形的变化”专题复习 | 在变化中探索几何的韵味

图形的每一次变化，都是对几何本质的一次深刻理解。图形的轴对称、旋转、平移、相似与投影五个部分贯穿三年来我们对几何图形的学习研究，也为几何的探索旅程增添了许多趣味。今天就让我们从生活的视角，探索图形变化中的几何韵味。利用相似三角形测量距离图1 【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y （单位： cm. ）是物距（蜡烛火
“图形与坐标”专题复习 | 图形与坐标数学好搭档

“图形与坐标”专题复习 | 图形与坐标数学好搭档

“图形与坐标”在初中数学学习体系中有着举足轻重的地位，它不仅是连接数与形的重要桥梁，也是培养同学们逻辑思维、空间想象能力和解决实际问题能力的基础工具。下面，我们一起看一看图形的位置与坐标的对应关系以及图形的变换与坐标的变化规律。图形的位置与坐标的对应关系我们知道，平面内的每一个点都对应一个坐标；反之，每一个坐标都对应着平面内的一个点。我们要能理解这种一一对应的关系，能用坐标描述简单几何图形
“图形与坐标”专题复习 | 精细阅读精准答题

“图形与坐标”专题复习 | 精细阅读精准答题

解答某些数学问题时，我们常因自己审题不仔细，解答不全面，导致不能得到满分。这着实让人惋惜。下面，我们以教材中的一道习题的解答为例，学习如何精细阅读，踩点解答，不留遗憾。
“图形与坐标”专题复习 | 对一道教材例题的变式与思考

“图形与坐标”专题复习 | 对一道教材例题的变式与思考

教材中的例题、习题具有很强的示范性和代表性，是我们学习的重要资源。我们可以对教材例题进行延伸，拓宽思维路径。【原题呈现】（苏科版数学教材八年级上册第123页例3）如图1，点 B 、点 C 在 x 轴上，试在第一象限内画以BC为底、面积为10的等腰三角形ABC，并写出点 A 点 B 点 C 的坐标。（解答略）【变式1】如图1，点 B 、点 C 在 x 轴上，试在平面直角坐标系中画以 BC
“图形与坐标”专题复习 | “数形结合”巧解动点问题

“图形与坐标”专题复习 | “数形结合”巧解动点问题

动点问题是初中数学中的难点问题，很多同学遇到这种题型容易失分。下面，我们以2024 年江苏省中考数学第16 题为例，借助平面直角坐标系以及动点坐标的特点，寻找动点运动的具体轨迹，领略数形结合思想的强大魅力。
“图形与坐标”专题复习 | 依据图形特征，遨游坐标世界

“图形与坐标”专题复习 | 依据图形特征，遨游坐标世界

通过本章的学习，我发现利用“建系法”可以将几何问题转化为代数问题，使得复杂的图形关系变得直观且易于计算。下面，我将自己做过的一道试题与大家分享。
“图形与坐标”专题复习 | 藏宝地之谜

“图形与坐标”专题复习 | 藏宝地之谜

在平面中确定一个物体的位置，一般需要两个数据，因此平面直角坐标系是研究物体位置的常用工具。我们通过建立平面直角坐标系，利用数形结合思想来研究问题;通过坐标系中对应点的坐标之间的关系，进一步研究图形变化的问题。一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：某荒岛上有一株橡树 A 和一株松树 B ，还有一个木桩 P 。从木桩 P 走到橡树 A ，记住所走的步数，到了橡树
备考指导 | 找出问题本质，提升审题能力

备考指导 | 找出问题本质，提升审题能力

数学家波利亚说：“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图。”可见解题的关键是审题，弄清题意，通过对题目由表及里地进行分析，找出问题本质，确定正确且适当的解题方法。因此，审题是解答问题的首要步骤，正确审题是成功的一半。下面，我们从三个方面进行解读，帮助大家提升审题能力。抓住关键词我们审题时，要在理解题意的基础上，熟悉问题的整体背景，找出题中的关键词、关键量、已知条件和待求问题，边看
备考指导 | 选择题解答策略

备考指导 | 选择题解答策略

选择题是中考数学中一定会出现的题型之一。我们在做选择题时，针对不同的题目，可以灵活选择不同的方法，如特例法、排除法、数形结合法等，往往可以节省大量时间，达到“事半功倍”的效果。
备考指导 | 填空题解答策略

备考指导 | 填空题解答策略

填空题是初中数学考试中的常见题型，具有小巧灵活、跨度大、覆盖面广等特点。填空题不需要写出解题过程，只要求直接写出结果，这就对我们的基础知识掌握程度、解题技巧和思维能力提出了较高的要求。当然，填空题也是我们失分比较多的题型。究其错因，主要包括基础知识掌握不够牢固，基础计算能力欠缺以及缺乏常规的解题技巧等方面。下面，我们就一些典型例题来做一些简要评析。洞察本质，巧构辅助线例1 如图1， ∠BA
备考指导 | 新定义型问题解答策略

备考指导 | 新定义型问题解答策略

近年来，中考中出现了大量的“新定义”试题。所谓“新定义”试题，指给出一个我们从未接触过的新规定，要求现学现用，其目的是考查我们的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养我们自主学习和主动探究的品质。“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路。下面，我们一起回顾近些年常见的新定义题。
备考指导 | 尺规作图题解答策略

备考指导 | 尺规作图题解答策略

近年来，关于尺规作图的考查方式推陈出新，比如活动探究、材料分析、计算说理等高阶思维的作图新题型，使一把无刻度的直尺与圆规也“玩”出了花样和新意。根据尺规作图痕迹进行判断例1 （2024·）下面三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC的是（）。 A.①② B.①③ C.②③ D.只有 ① 图 ① 图 ② 图 ③ 【解析】作一个角的角平分线，以角的顶点为圆
备考指导 | 几何直观题解答策略

备考指导 | 几何直观题解答策略

几何直观是借助于见到的或者想象出来的几何图形的形象关系，对数学问题中的数量关系和空间形式进行直接感知。在解题过程中，借助于几何直观，有助于把握问题的本质，明晰思维的路径，助推理解各类难以直接探寻数量关系的数学问题，其运用在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”中均有体现。
备考指导 | 代数推理题解答策略

备考指导 | 代数推理题解答策略

“代数推理”这类题型一般结合方程、不等式、函数等知识考查，具有较强的综合性，形式新颖，解题方法灵活多变。下面，我们结合近两年的中考试题和同学们一起来分析。
备考指导 | 跨学科问题解答策略

备考指导 | 跨学科问题解答策略

所谓跨学科问题，主要是指在问题中渗透了一些其他学科中的概念、新运算、新符号。我们需要在理解的基础上能对学过的知识灵活运用。下面，我们结合具体的例子与同学们一起探讨。
备考指导 | 综合与实践题解答策略

备考指导 | 综合与实践题解答策略

“综合与实践”类问题主要考查同学们的逻辑思维能力和实际应用能力。这类题目需要同学们将所学的数学知识运用到解决实际问题上，能够灵活运用数学原理来分析并解决问题。下面，我们结合具体的例子跟同学们一起探讨。例（2024·山西）综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB 组成的封闭图形，点 A，B 在矩形的边MN 上。现要

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